[Control] 무향 칼만 필터(UKF)

'칼만 필터는 어렵지 않아' 책의 Part 4 비선형 칼만 필터 중 두 번째 무향 칼만 필터(UKF: Unscented Kalman Filter)입니다.

 

Ch 13 무향 칼만 필터(UKF)

UKF는 EKF에 비해 구현이 복잡하지 않아 실용적입니다. 만약 야코비안을 해석적으로 쉽게 구할 수 있다면 EKF가 유리하겠지만, 발산할 우려가 있거나 야코비안 계산이 오래 걸리는 경우 UKF가 유리합니다.

 

13.1 UKF의 기본 전략

일반적인 비선형 시스템에서는 오차 공분산의 예측값(P-_k)을 해석적으로 구할 수 없습니다.

EKF는 시스템 모델을 선형화하여 이를 해결하고 있습니다.

이번에 소개하는 UKF는 선형화를 통한 근사가 아닌 샘플링을 통한 근사화 전략을 취합니다.

 

무향 변환

UKF에서는 시그마 포인트와 무향 변환이라는 개념이 등장합니다.

- 시그마 포인트: 오차 공분산 계산을 위해 샘플링한 대푯값

- 무향 변환(UT: Unscented Transform): 대푯값을 시스템 모델로 변환함

 

13.2 UKF 알고리즘

무향 칼만 필터 알고리즘

특이한 점은 II, III 단계에서 x^-, z^를 구할 때 시스템 모델을 이용하여 계산하는 것이 아니라 UT를 이용하여 추정합니다. IV 단계에서 x_k와 z_k의 공분산 행렬 P_xz를 계산할 때도 UT를 이용합니다.

 

13.3 무향 변환(UT)

 1️⃣ U matrix 구하기

위 식을 만족시키는 U를 구합니다. Cholesky decomposition을 통해 U를 구할 수 있습니다.

 

2️⃣ 시그마 포인트와 가중치 정의

위 식에 따라 시그마 포인트와 가중치를 구합니다. 이때 u_i는 U matrix의 행 벡터입니다.

 

3️⃣ 평균과 공분산

 

위 식에 따라 가중 평균과 가중 공분산을 계산합니다. UKF 구현시에는 공분산에 noise covariance를 더하기도 합니다.